赌场里的数学家：小白也能看懂的21点算牌法解析【 探索澳門21點：一場揮灑筹碼的華麗競技】

原標題：賭場裏的數學家：小白也能看懂的21點算牌法解析

文：屠夫1868

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「有優勢的下注叫投資，

沒優勢的下注叫賭博。 」

—— 約翰·凱利

這是屠夫的第 83 篇原創，全文 4450 字

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金錢永不眠，屠夫問候各位早安。

上周的《3%優勢與算牌型投資者》反響不錯，大家對「如何通過算牌提高21點勝率」這個問題特別好奇。

這次屠夫嘗試把複雜的21點算牌法用最簡單的語言解析，確保【小白也能看懂】。

21點算牌法源於「寬客之父」愛德華·索普（Edward O. Thorp）的著作《擊敗莊家》。他還有一本名為《戰勝一切市場的人》的傳記，由「黑天鵝之父」塔勒布親自作序。

愛德華·索普教授有以下身份：

全球第一個量化交易對衝基金創始人

「信息論之父」香農教授的合作夥伴

數學系教授 + 賭博專家

他在60年代通過工作之餘的艱苦演算（也藉助了當時的計算機），發明了21點遊戲的算牌法，然後以此橫掃內華達州各大賭場：數小時就可以贏走數以十萬計的賭金——拉斯維加斯自然也沒能倖免。

本文的核心思想和主要靈感來源於《擊敗莊家》和《決勝21點》。

屠夫希望借這樣一篇書籍+電影的衍生解析，化解一般人對數學的恐懼，幫大家更好地理解量化思維。

*篇幅有限，屠夫只挑核心部分講解，想深入了解請自己閲讀《擊敗莊家》哦

展開全文

圖片來源：《擊敗莊家》封面

01：21點基本規則

每個賭場都有一套21點遊戲規則，但總體而言大同小異。

自索普教授公開了算牌法之後，有不少賭場嘗試修改規則，但最終發現玩家流失太嚴重，只好改回來。

這裏介紹的是結合電影《決勝21點》來看的典型規則。

玩家數量：1個莊家，1-7個玩家

紙牌數量：1副52張的紙牌（無大小王），但越來越多賭場使用2或4副

發牌規則：莊家給自己發2張牌，再給每個玩家發2張牌。莊家的牌一張朝上（明牌），一張朝下（暗牌）；玩家兩張牌都是明牌

點數計算：牌2-10的點數就是牌面數字；花牌（J/Q/K）的點數都是10；牌A可以算1點（硬牌）或11點（軟牌）

上述幾條都比較簡單，接下來的「要牌規則」才是遊戲的核心。

玩家要牌規則只有一條：

【1】發牌過後，玩家可以選擇要牌（每次1張明牌）或者跳過（停止要牌）

莊家要牌規則稍複雜些：

【1】所有玩家要牌之後，莊家揭開暗牌

【2】莊家點數不超過16時必須繼續要牌，大於等於17時必須跳過

【3】如果莊家拿到A，且按11點計算會使總點數大於等於17，又不超過21點，那麼莊家必須將該張A算作11點並停止要牌

最後，是獲勝規則：

【1】若一方總計點數超過21點，即為「爆牌」落敗

【2】玩家和莊家都沒有爆牌時，點數大者獲勝

【3】玩家和莊家都沒有爆牌而且點數相同，打平

有些賭局規則是平局算莊家贏，這會為莊家帶來可怕的9%的優勢——千萬不要參加這樣的遊戲。

由於篇幅有限，本文跳過分牌/加倍/保險等規則，直擊核心原理。

加上這些規則後，算牌法【依然有效】，只是算牌者要記憶的內容更多一些。

看完規則，感覺什麼地方不對勁了嗎？

沒看出來也沒關係，接下來進入解謎階段啦。

02：撲克牌的記憶

學數學時，我們往往需要推導出一些定理，才能更方便地進行研究和探索。

玩21點之前，我們也要從規則推導出這個遊戲的「定理」，以便更好地掌控這個遊戲。

【定理1】撲克牌是有記憶的。

屠夫曾説過：21點和投資，都是連接過去與未來的遊戲。

一輪發牌的結果會影響下一輪甚至下下一輪的結果，因為用的是同一副牌。

所以，21點遊戲絕對不屬於「獨立隨機過程」。

舉例來説：遊戲第一輪就出現了4張A，那麼這輪結束之後，這些牌面朝上放入牌堆底部。

第二輪從剩餘的牌裏抽取，那麼從第二輪開始就沒有A，這種情況會持續到一副牌用完或者重新洗牌

——在此之前，玩法跟「牌堆有A」完全不一樣。

這就像屠夫做資產配置時的相關性分析。

歷史上兩項資產相關性的高低，會影響我的配置判斷和選擇。

因為我相信「資產有記憶」，所以它們的歷史表現會影響未來。

有同學會問，莊家如果每局結束都洗牌或者換一副新牌，不就可以消除「記憶」了嗎？

你別説，賭場還真試過這招，後來主動放棄了。

因為每局洗牌耗時太長太拖沓，沒人願意來玩，帶來的損失比有人算牌還高……

根據這條定理，我們得知：

根據已經用過的牌，

可以推測即將出現的牌。

03：爆牌決勝負

【定理2】莊家比玩家更易爆牌。

所謂爆牌，就是手牌總點數超出21點，直接判負。

讓我們仔細對比一下玩家和莊家的要牌規則：

【玩家】可以選擇要牌（每次1張明牌）或者跳過（停止要牌）

【莊家】點數不超過16時必須繼續要牌，點數大於或等於17時必須跳過

相比起可以自由選擇要牌和跳過的玩家來説，莊家只要不超過16點就必須要牌。

這意味着：在這個遊戲裏，莊家比玩家更易爆牌！

沒反應過來的同學，讓屠夫幫你理一下思路。

點數不超過11時，要牌是安全的。

因為紙牌最大點數只有10點（10/J/Q/K），A可以算1也可以算11，不會出現爆牌的情況。

點數到達12～16時，開始出現爆牌的風險。

由於莊家必須要牌，一旦抽中10點牌，必爆無疑。

事實上，莊家點數13時抽中9也爆，14時抽中8也爆，15時抽中7也爆，16時抽中6也爆……

總體而言，高點數的牌越多，對莊家越不利。

一般人會把注意力集中在點數大小上，忽略了「爆牌」這一要素。

是不是很眼熟呀？

屠夫在《給我1枚硬幣》裏，就是跳出常規的概率思維，使用「爆倉」讓984名賭徒出局。

這次不過是把「概率」換成了「點數大小」，「爆倉」換成「爆牌」而已。

第一條定理告訴我們，根據已用牌可以推算未來牌；

第二條定理告訴我們，高點數牌越多莊家越易爆牌。

兩者結合，就不難理解算牌法的思路了。

04：算10法

索普教授前後共提出多種算牌法，其中以算10法和完全計點法（又叫高低計點法）的效果最好。

算10法是第1版《擊敗莊家》的主力制勝策略。顧名思義，這個方法跟10點牌有關。

一副52張的紙牌，可以簡單劃分成兩類：

16張10點牌（四種花色的10/J/Q/K）

36張其他牌

完全未使用過的牌堆裏，這兩者的比率是 36 / 16 = 2.25。

而每發一張牌，餘牌堆自然少一張，那麼分子或者分母就會減1，從而整個比率會發生變化。

根據定理2，高點數牌越多莊家越易爆牌，而10點牌顯然屬於高點數。

這個比率越低，證明餘牌中的10點牌佔比越大，玩家的優勢越明顯。

索普教授在書中提供了不同比率裏玩家的優勢差異：

算10法中玩家的大致優勢（來源：擊敗莊家）

實戰中，你還需要結合莊家明牌點數和自己的手牌，作出是否要牌、分牌、加倍等決策，從而提升自己在這一局裏的勝率。

下圖就是算10法的完整策略表：

算10法完整策略表（來源：擊敗莊家）

為什麼要計算這麼一個比率呢？

道理很簡單——「少賠多賺」：

優勢明顯才下重注，

沒有優勢時少下注。

這個比率，就是「優勢」的晴雨表。

當比率低於2.25時，説明餘牌中的10點牌較多，玩家優勢變大，可以下重注；

當比率高於2.25時，説明餘牌中的10點牌較少，玩家優勢減小，最好少下注。

05：完全計點法

完全計點法（又叫高低計點法）是與算10法完全不同的一套體系，電影《決勝21點》用的就是完全計點法。

與只考慮10點牌的算10法不同，完全計點系統將所有牌劃分成三種高低點數：+1、0、-1：

+1牌包括 2、3、4、5、6

0點牌包括7、8、9

-1牌包括10、J、Q、K、A

每見到一張牌就更新一次高低點數，比如見到如下幾張牌：

那麼合計點數是+3。

《決勝21點》裏特意用了幾分鐘的時間，藉助男主第一次算牌來展現高低點數的計算，其實這只是完全計點法的冰山一角

——有了高低點數，還要算出高低索引值：

高低索引值 = 高低點數 / 剩餘牌數 * 100

同時計算高低點數並追蹤剩餘牌數，再實時地用除法求出索引值，並不是一件輕鬆的事，各位不妨拿起一副撲克牌自己試試。

接下來的事情就跟算10法很像了：結合莊家明牌點數和自己的手牌，作出是否要牌、分牌、加倍等決策。

下面兩張圖就是索普教授歸納的「完全計點法要牌策略表」：

‍完全計點法要牌策略表：硬點數（來源：擊敗莊家）

完全計點法要牌策略表：軟點數（來源：擊敗莊家）

仔細對比會發現，完全計點法從本質上和算10法十分相近。

兩者是共通的，都基於上述的兩條定理展開：

因為撲克牌有記憶，所以算10法跟蹤餘牌裏兩種牌的張數，完全計點法跟蹤高低點數和剩餘牌數；

因為莊家更易爆牌，所以算10法的比率越低玩家越有利，完全計點法的索引值越高玩家越有利。

到這裏，算牌法的原理已經基本解釋完。你已經可以憑藉這套方法，跟朋友玩21點時大殺四方了……

等等，真實的21點裏還涉及下注——該怎麼下呢？

06：下注和分工

在算10法的介紹裏，屠夫提過「有優勢時下重注，無優勢時下小注」這個基本原則。

事實上，《擊敗莊家》中沒有給出算10法的下注策略，只給出了完全計點法的下注建議：

下高低索引值一半基本單位的賭注。

也就是説，高低索引值是2或更低時，下1個單位賭注；高低索引值是4時，下2個單位；高低索引值是6時，下3個單位；以此類推。

索普教授還特意提醒：別下超過5倍的賭注，以免引起賭場懷疑。

那麼，《決勝21點》裏的算牌小組又是怎麼一回事呢？

其實那部電影也是根據真實事件改編的。

自從索普教授出版《擊敗莊家》後，21點的系統玩家（掌握算牌法的人）越來越多，賭場的警惕性也越來越強，千方百計阻撓算牌甚至直接驅逐。

別説系統玩家，連索普教授自己，到後期也已經難以施展算牌法了。

於是MIT（麻省理工）的學生們想到了團隊合作。

MIT算牌小組的成員分成兩類角色：

偵查員（Spotter）分散在不同賭桌上，總是下最低賭注。

他們的目的是在洗牌或使用新牌時就開始用算牌法對這張賭桌的牌進行追蹤，當牌堆「變熱」（玩家優勢大）時發出信號（比如雙手在背後交叉）。

（來源：決勝21點）

大贏家（Big Player）看到信號後，來到賭桌前下重注。

牌堆經過偵查員追蹤，此時已經是玩家優勢較大的局面，但下重注的是剛進場的另一個人，就不容易引起懷疑。

MIT算牌小組發明了一套暗語，好讓大贏家進場時馬上知道這張賭桌的情況（比如「甜」表示「+16」）。

（來源：決勝21點）

隨後偵查員和大贏家一邊下注一邊繼續算牌，等到牌堆「冷下來」（玩家優勢小）的時候，大贏家離桌退場。

通過這套分工體系，MIT算牌小組規避了「一個人有時重注有時小注」的可疑行為，成功躲過賭場的重重監視，一個周末捲走數十萬美金。

07：不平衡與可重複

介紹到這裏，21點算牌法解析已經講完了，不知大家看得是否過癮？

過癮歸過癮，可千萬要遠離賭博哦。

在《3%優勢與算牌型投資者》屠夫曾説：

算牌大概能給玩家帶來每局3%的優勢。

恰恰是這不起眼的3%，打破了系統的平衡，讓玩家在一次又一次的重複中趨近於必勝。

認真分析並不能保證每一筆投資都賺錢，但可以提高每一筆投資的成功率。

就像那不起眼的3%，帶來了不平衡。

在優勢情況下，我們還需要有充足的耐心，用一次又一次重複的賭局將我們領向最終的勝利。

不平衡+可重複。

這，就是賭場數學家的奧秘。

屠夫1868，一個秉持價值理念、專攻資產配置、追求財務自由的量化投基者。

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